Question

9．在满足面积和周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值为（　　）

• A． （$\sqrt{2}$-1）²
• B． 2（$\sqrt{2}$+1）²
• C． 3（$\sqrt{2}$-1）²
• D． 4（$\sqrt{2}$+1）²

Answer 1

分析 设直角三角形直角边长为a、b，则由题意可得$\frac{ab}{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，再利用基本不等式求得三角形的面积$\frac{1}{2}$ab的最小值．

解答 解：设直角三角形直角边长为a、b，则由题意可得$\frac{ab}{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
即 ab≥4$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{2}$•$\sqrt{ab}$，求得$\sqrt{ab}$≥4+2$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}$ab≥4（$\sqrt{2}$+1）²，
当且仅当a=b=4+2$\sqrt{2}$时，取等号，
故面积的最小值为4（$\sqrt{2}$+1）²，
故选：D．

点评 本题主要考查勾股定理、基本不等式的应用，注意等号成立条件，属于基础题．