题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
是等腰三角形,
,
是
的一个三等分点(靠近点
),
与
的延长线交于点
,连接
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的正切值
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(I)由线面垂直的性质可得 ,由矩形的性质可得
,从而由线面垂直的判定定理可得
平面
,进而由面面垂直的判定定理可得结论;(II)以
,
,
分别为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得夹角余弦值,利用同角三角函数之间的关系可得正切值.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为平面
,所以
又因为底面是矩形,所以
又因为,所以
平面
.
又因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)解:方法一:(几何法)过点作
,垂足为点
,连接
.
不妨设,则
.
因为平面
,所以
.
又因为底面是矩形,所以
.
又因为,所以
平面
,所以A
.
又因为,所以
平面
,所以
所以就是二面角
的平面角.
在中,由勾股定理得
,
由等面积法,得,
又由平行线分线段成比例定理,得.
所以.所以
.
所以.
所以二面角的正切值为
.
方法二:(向量法)以,
,
分别为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系:
不妨设,则由(Ⅱ)可得
,
.
又由平行线分线段成比例定理,得,
所以,所以
.
所以点,
,
.
则,
.
设平面的法向量为
,则
由得
得
令,得平面
的一个法向量为
;
又易知平面的一个法向量为
;
设二面角的大小为
,则
.
所以.所以二面角
的正切值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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