Question

15．设F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的一点P（x₀，x₀）（x₀＞0）到y轴的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点F₂关于直线OP的对称点为H，直线HF₁交椭圆C于Q，K两点，当△F₂QK的面积等于$\frac{4\sqrt{6}}{5}$时，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）求得P（$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{\sqrt{5}}{5}$a），代入椭圆方程，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到离心率；
（2）可设b=t，a=2t，c=$\sqrt{3}$t，则F₂（$\sqrt{3}$t，0），直线OP的方程为y=x，求得H的坐标，直线HF₁的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，计算即可得到所求方程．

解答 解：（1）由题意可得x₀=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
由P（$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{\sqrt{5}}{5}$a）在椭圆上，可得
$\frac{1}{5}$+$\frac{{a}^{2}}{5{b}^{2}}$=1，即有a=2b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）可设b=t，a=2t，c=$\sqrt{3}$t，
则F₂（$\sqrt{3}$t，0），直线OP的方程为y=x，
即有H（0，$\sqrt{3}$t），F₁（-$\sqrt{3}$t，0），
直线HF₁的方程为y=x+$\sqrt{3}$t，
椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1，
联立直线方程和椭圆方程，可得
5y²-2$\sqrt{3}$ty-t²=0，
可得y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$t，y₁y₂=-$\frac{{t}^{2}}{5}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12{t}^{2}}{25}+\frac{4{t}^{2}}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}t}{5}$，
即有△F₂QK的面积为S=${S}_{△Q{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{△K{F}_{1}{F}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}t$•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$t•$\frac{4\sqrt{2}t}{5}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$t²=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
解得t=1，即有a=2，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查三角形的面积的求法，属于中档题．