Question

14．已知函数f（x）=x²-tx+1，g（x）=$\frac{sinx+2cosx+1}{2sinx+cosx+3}$．
（1）求函数y=f（sinx）的最小值a；
（2）求函数g（x）的最小值；
（3）在（2）的条件下，若存在实数x，使得不等式f（sinx）≤a成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先把二次函数的一般式转化成顶点式，然后根据对称轴和单调区间的关系分三种情况进行讨论求的结果；
（2）由辅助角公式，可得定义域为R，再令y=g（x）=$\frac{sinx+2cosx+1}{2sinx+cosx+3}$．（1-2y）sinx+（2-y）cosx=3y-1，x∈R，则$\sqrt{（1-2y）^{2}+（2-y）^{2}}$sin（x+θ）=3y-1，由|sin（x+θ）|≤1，得到二次不等式，解出即可得到最小值a；
（3）若存在实数x，使得不等式f（sinx）≤a成立，即为f（sinx）_min≤$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$，由（1）解不等式即可得到t的范围．

解答 解：（1）令m=sinx（-1≤m≤1），
则函数y=f（sinx）=m²-tm+1=（m-$\frac{t}{2}$）²+1-$\frac{1}{4}$t²，
①当-1≤$\frac{t}{2}$≤1即-2≤t≤2时，f（sinx）_min=f（$\frac{t}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$t²；
②t＜-2时，函数在定义域内为单调递增函数．
f（sinx）_min=f（-1）=t+2；
③t＞2时，函数在定义域内为单调递减函数．
f（sinx）_min=f（1）=2-t．
综上可得，当-1≤t≤1时，f（sinx）_min=f（t）=1-$\frac{1}{4}$t²；
t＜-2时，f（sinx）_min=f（-1）=t+2，
t＞2时，f（sinx）_min=f（t）=2-t．
（2）由y=g（x）=$\frac{sinx+2cosx+1}{2sinx+cosx+3}$．
2sinx+cosx+3=$\sqrt{5}$sin（x+α）+3＞0恒成立，
可得定义域为R，
（1-2y）sinx+（2-y）cosx=3y-1，x∈R，
则$\sqrt{（1-2y）^{2}+（2-y）^{2}}$sin（x+θ）=3y-1，
由|sin（x+θ）|≤1，可得
（1-2y）²+（2-y）²≥（3y-1）²，
化简可得2y²+y-2≤0，
解得$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$≤y≤$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$．
即有g（x）的最小值a为$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$；
（3）若存在实数x，使得不等式f（sinx）≤a成立，
即为f（sinx）_min≤$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$，
由（1）可得，当-1≤t≤1时，f（sinx）_min=f（t）=1-$\frac{1}{4}$t²＞0，
f（sinx）≤a不成立；
t＜-2时，f（sinx）_min=f（-1）=t+2，
由f（sinx）≤a，可得t≤$\frac{-9-\sqrt{17}}{4}$；
t＞2时，f（sinx）_min=f（t）=2-t．
由f（sinx）≤a，可得t≥$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$．
综上可得，t的取值范围是（-∞，$\frac{-9-\sqrt{17}}{4}$]∪[$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点：二次函数对称轴与区间的关系，单调性在求最值中的应用，三角函数的图象和性质，不等式存在性问题的解法，考查运算求解能力，属于中档题．