Question

19．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值为（　　）

• A． $\frac{2007}{2008}$
• B． $\frac{2008}{2009}$
• C． $\frac{2009}{2010}$
• D． $\frac{2010}{2011}$

Answer 1

分析 因为f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线l斜率为3，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，所以数列{$\frac{1}{f（n）}$}的通项公式可化为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而由裂项相消求和方法即可求解．

解答 解：∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l的斜率为3，
由f（x）=x² +bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3，可得b=1，
∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），
故数列{$\frac{1}{f（n）}$}的通项为$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
则利用裂项相消法可以得到：S₂₀₁₀=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）
=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$，
故选D．

点评 此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．