题目内容
【题目】已知数列
，其前
项和为
.
（1）若对任意的
， 
， 
， 
组成公差为4的等差数列，且
，求
；
（2）若数列
是公比为
（
）的等比数列， 
为常数，
求证：数列
为等比数列的充要条件为
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：(1)根据题意,可求得
， 
（
）,从而得
， 
， 
，……， 
， 
是公差为4的等差数列,且
,于是可求
；
(2)由
,可求得
,
,两式相减得
,若
,可证得数列
为等比数列,(充分性);若数列
为等比数列,可证得
,(必要性).
试题解析：（1）因为
， 
， 
成公差为4的等差数列，
所以
， 
（
），
所以
， 
， 
，……， 
， 
是公差为4的等差数列，且
，
又因为
，所以
（2）因为
，所以
，①
所以
，②
②-①，得
，③
（i）充分性：因为
，所以
， 
， 
，代入③式，得
，因为
，又
，
所以
， 
，所以
为等比数列，
（ii）必要性：设
的公比为
，则由③得
，
整理得
，
此式为关于
的恒等式，若
，则左边=0，右边=-1，矛盾：
若
，当且仅当
时成立，所以
.
由（i）、（ii）可知，数列
为等比数列的充要条件
.
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