题目内容
【题目】已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
，
底面
，且
，
是
的中点.
（1）求证：直线
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）取
中点
，连结
，
，推导出
，
，从而平面
平面
，由此能证明直线
平面
；
（2）以
为原点，
为
轴，为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
（1）证明：取中点，连结，，
，
是
的中点，
，，
，
，
平面平面，
平面，直线平面．
（2）解：
，
，
底面
，
，是的中点，
，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则
，0，
，
，1，，
，0，
，
，2，，
，1，
，
，1，，
，1，，
，1，，
，0，，
设平面
的法向量
，
，
，则
，取
，得
.
设平面
的法向量
，
，
，则
，取
，得
.
设二面角的平面角为
，则
．
二面角的余弦值为．
练习册系列答案
相关题目
【题目】“微信运动”是手机
推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人 | 参与者 | 合计 | |
男教师 | 60 | 20 | 80 |
女教师 | 40 | 20 | 60 |
合计 | 100 | 40 | 140 |
（Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？
（Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为
，写出的分布列并求出数学期望
.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
