Question

9．求：S_n=1+5x+9x²+…+（4n-3）x^n-1．

Answer 1

分析 分n是否为1两种情况讨论，当n≠1时通过S_n=1+5x+9x²+…+（4n-3）x^n-1与xS_n=x+5x²+…+（4n-7）x^n-1+（4n-3）xⁿ错位相减、计算即得结论．

解答 解：①当x=1时，
S_n=1+5+9+…+（4n-3）
=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$
=n（2n-1）；
②当x≠1时，
∵S_n=1+5x+9x²+…+（4n-3）x^n-1，
∴xS_n=x+5x²+…+（4n-7）x^n-1+（4n-3）xⁿ，
两式相减得：（1-x）S_n=1+4（x+x²+…+x^n-1）-（4n-3）xⁿ
=1+4•$\frac{x（1-{x}^{n-1}）}{1-x}$-（4n-3）xⁿ
=1+$\frac{4}{1-x}$•（x-xⁿ）-（4n-3）xⁿ
=1+$\frac{4x}{1-x}$-（4n-3+$\frac{4}{1-x}$）•xⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{1-x}$+$\frac{4x}{（1-x）^{2}}$-（$\frac{4n-3}{1-x}$+$\frac{4}{（1-x）^{2}}$）•xⁿ．

点评 本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．