题目内容
已知
是椭圆E：
的两个焦点，抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点
的动直线
交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
是椭圆E：的两个焦点，抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点
的动直线交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(1)
(2)AB为直径的圆恒过这个定点(0,1).
(2)AB为直径的圆恒过这个定点(0,1).试题分析：(1)求出抛物线的焦点得到椭圆的两个焦点(即C值),求其中一个焦点关于直线的对称点，再利用点点之间直线距离最短求出直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P的坐标（即为对称点与另一个焦点连线与直线y＝的交点）,即得椭圆上一点的坐标,便可求出a,b,c得到椭圆的标准方程.(2)直线的斜率为k,通过联立方程式,韦达定理等用斜率k来建立圆的方程,进而判断关于参数k的圆是否经过定点(即是否有相应点的坐标使得参数k的系数为0即可)
试题解析：
（1）由抛物线的焦点可得：
，点
关于直线
的对称点为
故
，因此
，椭圆方程为（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。
当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
①当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
②由①②知定点M
。下证：以AB为直径的圆恒过定点M。设直线
，代入，有
。设
，则
。则
，
在y轴上存在定点M
，使以AB为直径的圆恒过这个定点.
练习册系列答案
相关题目
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
的方程；
与椭圆
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：
上，且椭圆的离心率e =
．
的左、右焦点分别
、
，点
是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，
的周长为16．
的方程；
且斜率为
的直线
被椭圆
是离心率为
的椭圆
：
上的一点，斜率为
的直线
交椭圆
，
两点，且
、
，
的斜率之和为定值．
的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
、
，
是两曲线的一个公共点，若
，则
，圆
，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x轴,y轴分别交于点M,N，则
_____________
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且
＝
，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，
·
＝0.
，求椭圆的方程．