题目内容
【题目】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H． 
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
【答案】
（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1）， 
，
设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则
即 
，
令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=|cos 
|=| 
|= 
，
∴直线BC与平面ABF所成的角为 
，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设 
，
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，
∴n 
=0，即（0，﹣1，1）（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ= 
，∴H（ 
），
∴PH= 
=2．
【解析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设 ，用λ表示H的坐标，再由n =0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
才能正确解答此题．
