Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；
（3）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= （x＞0），

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；

（2）解：令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）= ，

若﹣a≤e，即a≥﹣e，

F（x）在[e，e2]上是增函数，

F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，

a≤ ，无解．

若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，

F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，

F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．

F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤ ，

∴﹣e2≤a≤ ．

若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，

F（x）在[e，e2]上是减函数，

F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，

∴a＜﹣e2，

综上所述，a≤ ．

（3）解：证明：令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，

由（1）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，

∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，

∵n≥2，n∈N*，则有ln（ +1）＜ ＜ = ﹣ ，

要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），

只需证ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）＜1（n≥2，n∈N*）；

ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）

＜（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1；

所以原不等式成立

【解析】（1）求导f′（x）= （x＞0），从而判断函数的单调性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）= ，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；（3）令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，从而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，从而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，从而可得若n≥2，n∈N* ， 则有ln（ +1）＜ ＜ = ﹣ ，从而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）为ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）＜1（n≥2，n∈N*）；从而证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对不等式的证明的理解，了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．