Question

2．已知函数的对称中心为M（x₀，y₀），记函数f（x）的导函数为f′（x），函数f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则可求得：f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-8046．

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，再利用倒序相加，即可得到结论．

解答 解：f′（x）=3x²-6x，
∴f″（x）=6x-6，
令f″（x₀）=0，
∴x₀=1
而f（1）=-2，故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-4，f（$\frac{2}{2012}$）+f（$\frac{4022}{2012}$）=-4，
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）+f（$\frac{4022}{2012}$）+…+f（$\frac{2}{2012}$）+f（$\frac{1}{2012}$）=4023×（-4），
∴f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{2}{2012}$）+…+f（$\frac{4022}{2012}$）+f（$\frac{4023}{2012}$）=-8046，
故答案为：-8046．

点评 本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加是关键．