题目内容
2.已知函数的对称中心为M(x0,y0),记函数f(x)的导函数为f′(x),函数f′(x)的导函数为f″(x),则有f″(x0)=0.若函数f(x)=x3-3x2,则可求得:f($\frac{1}{2012}$)+f($\frac{2}{2012}$)+…+f($\frac{4022}{2012}$)+f($\frac{4023}{2012}$)=-8046.分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1,-2)对称,即f(x)+f(2-x)=-4,而要求的式子可用倒序相加法求解,再利用倒序相加,即可得到结论.
解答 解:f′(x)=3x2-6x,
∴f″(x)=6x-6,
令f″(x0)=0,
∴x0=1
而f(1)=-2,故函数f(x)=x3-3x2关于点(1,-2)对称,即f(x)+f(2-x)=-4
∴f($\frac{1}{2012}$)+f($\frac{4023}{2012}$)=-4,f($\frac{2}{2012}$)+f($\frac{4022}{2012}$)=-4,
∴f($\frac{1}{2012}$)+f($\frac{2}{2012}$)+…+f($\frac{4022}{2012}$)+f($\frac{4023}{2012}$)+f($\frac{4023}{2012}$)+f($\frac{4022}{2012}$)+…+f($\frac{2}{2012}$)+f($\frac{1}{2012}$)=4023×(-4),
∴f($\frac{1}{2012}$)+f($\frac{2}{2012}$)+…+f($\frac{4022}{2012}$)+f($\frac{4023}{2012}$)=-8046,
故答案为:-8046.
点评 本题考查函数的对称性,确定函数的对称中心,利用倒序相加是关键.

练习册系列答案
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