Question

4．若直线ax+2by-2=0（a≥b＞0），始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用直线与圆的位置关系求出a，b的关系，就所求表达式，通过函数的单调性，求解最值即可．

解答 解：因为直线ax+2by-2=0（a≥b＞0），始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，
所以直线直线ax+2by-2=0过圆的圆心（2，1），
则2a+2b-2=0，即a+b=1；
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{a+b}{a}+\frac{2a+2b}{b}$=3$+\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$．
令t=$\frac{b}{a}$，（0＜t≤1），则f（t）=t+$\frac{2}{t}+3$在（0，1]上单调递减，f_min（t）=f（1）=1+2+3=6，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为6．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用．本题改编自2015届山东省乐陵市一中高三上学期期中考试文试卷第8题，改编了①条件（给定a，b的关系），②这是一道易错题，容易利用基本不等式求最小值．