Question

6．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα+cosα=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ） 求sinα-cosα的值；
（Ⅱ） 求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用同角三角函数关系，即可求sinα-cosβ的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，利用两角和的三角函数关系求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）因为sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，所以（sinα+cosα）²=$\frac{1}{25}$，所以2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，…（2分）
由α∈（$\frac{π}{2}$，π），所以（sinα-cosα）²=$\frac{49}{25}$，所以sinα-cosα=$\frac{7}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
所以sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{2}{5}$-$\frac{3\sqrt{3}}{10}$…（12分）

点评 本题考查同角三角函数关系，两角和的三角函数关系，考查学生的计算能力，比较基础．