Question

9．已知函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设x=m（m∈R）是函数y=f（x）图象的对称轴，求sin4m的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
（2）利用（1）的函数关系式，利用整体思想，用函数的对函数的关系求出结果．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}sin2x}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
所以函数的周期为：$T=\frac{2π}{2}=π$．
令：$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤$$\frac{3π}{2}+2kπ$（k∈Z），
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为：[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
（2）设x=m（m∈R）是函数y=f（x）图象的对称轴，
则：$2m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
解得：m=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
所以：4m=2kπ$+\frac{2π}{3}$．
则：sin4m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期和单调性的应用，以及函数的对称轴的应用．