Question

2．设0＜α＜π，则函数y=sin²α（1-cosα）的最大值为$\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 令t=cosα∈（-1，1），可得y=t³-t²-t+1，利用导数y′的符号研究函数的单调性，由单调性求函数y的最大值．

解答 解：函数y=sin²α（1-cosα）=（1-cos²α）（1-cosα）=cos³α-cos²α-cosα+1．
由于0＜α＜π，可得-1＜cosα＜1．
令t=cosα∈（-1，1），则y=t³-t²-t+1，∴y′=3t²-2t-1=（3t+1）（t-1）．
令y′-0，求得t=-$\frac{1}{3}$，或t=1（舍去）．
由y′的符号可得，函数y在（-1，-$\frac{1}{3}$）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，
故当t=-$\frac{1}{3}$时，函数y取得最大值为-$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$+1=$\frac{32}{27}$，
故答案为：$\frac{32}{27}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最值，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．