Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求证：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）当BB₁与底面ABC所成的角为60°，且AB₁⊥BC₁时，求点B₁到平面AC₁的距离．

Answer 1

（1）证明：∵CA=CB=a，AB=，∴AB²=CA²+CB²，∴AC⊥BC
∵点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，
∴侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，
∵侧面BCC₁B₁∩底面ABC=BC
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：∵点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，

∴∠B₁BC=60°
∵AC⊥平面BCC₁B₁
∴BC₁⊥AC
∵AB₁⊥BC₁，AB₁∩AC=A
∴BC₁⊥平面AB₁C
∴BC₁⊥B₁C
∵BCC₁B₁是平行四边形，∴BCC₁B₁是菱形
∴△B₁BC是等边三角形
取BC的中点D，连接B₁D，则B₁D⊥BC
∵侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，
∴B₁D⊥底面ABC，
∴B₁D为三棱柱的高，B₁D=，S_△ABC=
∴=
∴==
∵AC⊥平面BCC₁B₁
∴CC₁⊥AC
∴四边形ACC₁A₁是边长为a的正方形
设点B₁到平面AC₁的距离为d，则有，∴d=
∴点B₁到平面AC₁的距离为．
分析：（1）先证明AC⊥BC，利用点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，可得侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，从而可得AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）先证明B₁BC是等边三角形，取BC的中点D，连接B₁D，则B₁D为三棱柱的高，利用等体积可求点B₁到平面AC₁的距离．
点评：本题考查线面垂直，考查点到面的距离，掌握面面垂直的性质，正确求体积是关键．