Question

【题目】以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与共有个交点，且这个交点恰好把圆周六等分.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相切，且椭圆相交于两点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，，从而得到的值，由此能求出椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程可求出，当当直线的斜率存在时，可设直线的方程，利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出的最大值.

试题解析：（1）如图，依题意，, 因为,所以, 得，故椭圆的方程为 .

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，此时.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为, 因为直线与相切，所以，即, 由消去，整理得,

, 由，得，设，则,

所以，所以

, 当且仅当, 即时，取得最大值.综上所述，最大值为.