Question

3．设函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常数．），请你设计一个函数f（x）及一个α（0＜α＜π）的值使得g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x；那么α=$\frac{π}{2}$f（x）=sinx．

Answer 1

分析 由逆向思维运用二倍角公式可知f（x）•f（x+α）=sinxcosx，结合诱导公式，由此可得函数f（x）及一个α．

解答 解：∵g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x=sinxcosx，
若f（x）=sinx，则f（x+α）=sin（x+α）=cosx，
由0＜α＜π可得α=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sinx，常数α=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$，sinx．

点评 本题考查三角函数的化简，考查二倍角公式和诱导公式的运用，属于基础题．