题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，顶点为原点的抛物线
，它是焦点为椭圆
的右焦点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于
四点，求四边形
的面积的最小值.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】
(1)求出椭圆的右焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，再根据焦点在
轴正半轴的抛物线的标准方程，即可出答案；
(2)根据已知可设直线
，则直线
，分别与抛物线方程联立，利用根与系数关系及焦半径公式，即可求出
、
，可得
，利用基本不等式即可得解.
(1)椭圆
的右焦点为
，
所以抛物线的焦点为，顶点为原点，抛物线的方程为.
(2)由(1)知，抛物线
的焦点是
，
设直线，则直线，
联立
，消去，得
，
设
，
，则
，
，
所以
，
设点
，
，同理可得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立.
即四边形
的面积的最小值为.
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