题目内容
【题目】如图所示,已知四边形是菱形,平面
平面
,
,
.
(1)求证:平面平面
.
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由面面垂直的性质定理可得平面
,再由面面垂直的判定定理得平面
平面
;
(2)设与
交于点O,连接
,可证
平面
.以O为坐标原点,以
,
,
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
,求出平面
和平面
的法向量,即求二面角
的余弦值.
(1)证明:菱形中,
,
又平面
平面
,平面
平面
,
平面
.又
平面
,
平面
平面
.
(2)设与
交于点O,连接
,因为
,且
,
四边形
是平行四边形,
.
,
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
.
以O为坐标原点,以,
,
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
,如图所示
则,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则,即
,令
,则
,
.
又平面的法向量为
.
设二面角的大小为
,则
为锐角.
,
二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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