题目内容
【题目】已知函数
．
(I)讨论
的单调性；
(II)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
.
【解析】
（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．
解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为
，
，
①当
时，
，f(x)在上为增函数.
②当a>0时，由得
；
由
得
,
所以f(x)在
上为减函数，在
上为增函数.
综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数
②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.
(Ⅱ)①当a=0时，因为
，所以
恒成立，所以a=0符合题意.
②当a<0时，
，因为
，所以
不恒成立，舍去.
③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.
下面先证明：
.
设
，因为
，
所以p(a)在上为增函数.
所以
，因此有
.
所以f(x)在
上为增函数.
所以
.
设
，则
，
.
由
得
；由
得
.
所以
在
上为减函数，在
上为增函数.
所以
.
所以q(a)在上为增函数，
所以
.所以
.
所以恒成立.
故a>0符合题意.
综上可知，a的取值范围是
.
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