Question

6．非零实数a、b满足4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），当|2a+b|取到最大值时，则$\frac{b}{a}$的值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），化为$\frac{c}{4}$=${a}^{2}-\frac{1}{2}ab+{b}^{2}$=$（a-\frac{b}{4}）^{2}+\frac{15}{16}{b}^{2}$，利用柯西不等式即可得出．

解答 解：4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），
化为$\frac{c}{4}$=${a}^{2}-\frac{1}{2}ab+{b}^{2}$=$（a-\frac{b}{4}）^{2}+\frac{15}{16}{b}^{2}$，
由柯西不等式可得：$[（a-\frac{b}{4}）^{2}+\frac{15}{16}{b}^{2}]$$[{2}^{2}+（\frac{6}{\sqrt{15}}）^{2}]$≥$[2（a-\frac{b}{4}）+\frac{\sqrt{15}}{4}b×\frac{6}{\sqrt{15}}]^{2}$=（2a+b）²，
当|2a+b|取到最大值时，$\frac{a-\frac{b}{4}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}b}{\frac{6}{\sqrt{15}}}$，化为$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．