题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的极值;
(2)证明:时,
(3)若函数有且只有三个不同的零点,分别记为
,设
且
的最大值是
,证明:
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先求导数,再根据讨论导函数零点情况,最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律确定极值,(Ⅱ)作差函数
,先利用导数研究导函数单调性,确定导函数零点,再根据导函数符号确定函数最小值,最后根据基本不等式证得结论,(Ⅲ)先利用导数研究
有两个零点时,其两个零点对应区间,再令
,根据条件用
表示
,利用导数求其最大值,即得结论.
(Ⅰ)函数的定义域为.
由已知可得.
(1)当时,
,故
在区间
上单调递增;
无极值.
(2)当时,由
,解得
;由
,解得
.所以函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
的极大值为
,无极小值.
(Ⅱ)证明:令,故只需证明
.
因为
所以函数在
上为增函数,且
,
.
故在
上有唯一实数根
,且
.
当时,
,当
时,
,
从而当时,
取得最小值.
由,得
,即
,
故
,
因为,所以等于号取不到,即
综上,当时,
即
.
(Ⅲ)∵ 函数有且只有三个不同的零点,而
是其零点,
∴ 函数存在两个零点(不等于
),即
有两个不等且不等于
的实数根.
可转化为方程在区间
上有两个不等且不等于
的实数根,
即函数的图象与函数
的图象有两个交点.
∵,
∴ 由,解得
,故
在上单调递增;
由,解得
,故
在
上单调递减;
故函数的图象与
的图象的交点分别在
,
上,
即的两个根分别在区间
,
上,
∴的三个不同的零点分别是
,且
.
令,则
.
由,解得
故
,
.-令
,则
.
令,则
.
所以在区间
上单调递增,即
.
所以,即
在区间
上单调递增,
即,
所以,即
,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以如表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 1 |
经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量
千件
与返还点数t之间的相关关系
请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程
,并预测若返回6个点时该商品每天销量;
若节日期间营销部对商品进行新一轮调整
已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间
| ||||||
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值
同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到
;
将对返点点数的心理预期值在
和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,
;
.