题目内容

(2013•青岛一模)若任意直线l过点F(0,1),且与函数f(x)=
1
4
x2
的图象C于两个不同的点A,B过点A,BC,两切线交于点M
(Ⅰ)证明:点M纵坐标是一个定值,并求出这个定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求实数a取值范围;
(Ⅲ)求证:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然对数的底数,n≥2,n∈N).
分析:(Ⅰ)设AB:y=kx+1,与抛物线方程联立,求出x1x2,利用函数的导数推出AM,BM的斜率,得到它们的方程,然后求出点M纵坐标是一个定值即可;
(Ⅱ)构造F(x)=f(x)-g(x),求出函数的最小值,利用不等式f(x)≥g(x),说明F(x)的最小值大于等于0,即可求实数a取值范围;
(Ⅲ)利用(Ⅱ):取a=
e
2
,则有
1
4
x2
e
2
lnx
,代入x=2,3,4,…,n,即可求证:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然对数的底数,n≥2,n∈N).
解答:(本小题满分13分)
证明:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知AB的斜率必存在,设AB:y=kx+1,
将其代入y=
1
4
x2
得:x2-4kx-4=0,∴x1x2=-4…(2分)
f(x)=
1
4
x2,f′(x)=
1
2
x
,∴kAM=
x1
2
kBM=
x2
2

AM:y-
1
4
x12=
x1
2
(x-x1)
,化简得:AM:y=
x1
2
x-
x12
4
…①
同理:BM:y=
x2
2
x-
x22
4
,…②
由①②消去x得:y=
x 1x2
4
=-1
…(5分)
(Ⅱ)令F(x)=f(x)-g(x)=
1
4
x2-alnx
,(a>0,x>0),
∴F′(x)=
x
2
-
a
x
=
x2-2a
2x

令 F′(x)=0 得x=
2a

当x∈(0,
2a
)时F′(x)<0,F(x)在x∈(0,
2a
)上单调递减; 
当x∈(
2a
,+∞)时F′(x)>0,F(x)在x∈(
2a
,+∞)上单调递增;
∴F(x)在x=
2a
时取得最小值,…(7分)
要使f(x)≥g(x)恒成立,只需F(
2a
)≥0
即 
a
2
-aln
2a
≥0
,解得a≤
e
2
,又a>0,∴0<a≤
e
2
…(9分)
(Ⅲ)根据(Ⅱ):取a=
e
2
,则有
1
4
x2
e
2
lnx
,化简得:
2
x2
lnx≤
1
e
  …(11分)
分别令x=2,3,4,…,n,得:
2
22
ln2≤
1
e
2
32
ln3≤
1
e
,…,
2
n2
lnn≤
1
e

相加:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
…(13分)
点评:本题考查函数与导数的综合应用,利用函数的最值证明不等式,直线与抛物线的位置关系的应用,考查转化数学与计算能力.
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