题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
,动点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求以为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程;
(Ⅲ)设是椭圆的右焦点,过点
作
的垂线与以
为直径的圆交于点
,证明:线段
的长为定值,并求出这个定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)线段
的长为定值
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据离心率,且过点
,解方程组得:
,
,所以椭圆方程为
.(Ⅱ)以根据平面几何得知识,利用弦心距、半弦长、半径构成直角三角形可求半径. (Ⅲ)过点
作
的垂线,垂足设为
,由平面几何知:
,根据直线与圆锥曲线的位置关系得:
,所以线段
的长为定值
.
试题解析:(Ⅰ)由题意得,①
因为椭圆经过点,所以
,②
又,③
由①②③解得,
,
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)以为直径的圆的圆心为
,半径
,
方程为,
因为以为直径的圆被直线
截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离
.
所以,解得
,
所求圆的方程为.
(Ⅲ)过点作
的垂线,垂足设为
,由平面几何知:
.
则直线:
,直线
:
,
由得
,
∴,
所以线段的长为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”,低于60分钟的学生称为“非读书谜”
(1)求的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少?(将频率视为概率)
(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关?
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
附:.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |