Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．
（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过4个，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）= x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）， 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，
由f（0）=f（0）=0，f（1）= ，
∴f（x）在[0，3]上的值域为[0， ]；
（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，
①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，
②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1+x2=2a，x1x2=3，
则f（x）在（﹣∞，x1），（x2 ， +∞）上单调递增，
在（x1 ， x2）上单调递减，
由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤ ，
∴丨 ﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤ ，
化简得： （a2﹣3） ≤ ，解得：3＜a2≤4，
综合①②，可得a2≤4，
解得：﹣2≤a≤2．
a的取值范围[﹣2.2]．
【解析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．