题目内容
【题目】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1.
(1)求;
(2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、
、
,求
【答案】(1)0;(2)4
【解析】
(1)先表示出F,的坐标,再向量坐标化,表示出
的坐标,联立直线MN的方程和抛物线方程,根据韦达定理得到结果;(2)分别表示出面积表达式,S
=4
(
p|
-
|)
=4×
(
+
)|
|·
(
+
)·|
|
[(
+
)2-4
]=[
+
(
+
)+
]·|
|,联立直线和抛物线根据韦达定理得证即可.
.
(1)依题意,焦点为F(,0),准线l的方程为x=-
.
设点M,N的坐标分别为M(,
),N(
,
),直线MN的方程为x=my+
,则有M1(-
,
),N1(-
,
),
=(-p,
),
=(-p,
).
由
于是,+
=2mp,
=-
.
∴·
=
+
=
-
=0
(2)S=4
成立,证明如下:
设M(,
),N(
,
),
直线l与x轴的交点为,则由抛物线的定义得
|M M1|=|MF|=+
, |N N1|=|NF|=
+
. 于是
=
·|M M1|·| F1 M1|=
(
+
)|
|,
=
·| M1 N1|·|F F1|=
p|
-
|,
=
·|N N1|·| F1 N1|=
(
+
)|
|,
∵S=4
(
p|
-
|)
=4×
(
+
)|
|·
(
+
)·|
|
[(
+
)
-4
]=[
+
(
+
)+
]·|
|.
将与
代入上式化简可得
此式恒成立. 故
=4.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造(每半年为一个生产周期),从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本,用茎叶图表示如图所示,已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内(含±5)的产品为优质品,与中位数误差在±15范围内(含±15)的产品为合格品(不包括优质品),与中位数误差超过±15的产品为次品.企业生产一件优质品可获利润20元,生产一件合格品可获利润10元,生产一件次品要亏损10元.
(Ⅰ)求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望;
(Ⅱ)是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2= .