题目内容

已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )
A.66条
B.72条
C.74条
D.78条
【答案】分析:先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个,依圆的对称性知,圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线,利用计数原理求出直线的总数,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax+by-1=0不经过原点,如图所示上述直线中经过原点的有6条,所以满足题意的直线利用总数减去12,再减去6即可得到满足题意直线的条数.
解答:解:当x≥0,y≥0时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)、(5,5)、(7,1),
根据题意画出图形,如图所示:

根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数,
经过其中任意两点的割线有C122=66条,过每一点的切线共有12条,
上述直线中经过原点的有6条,如图所示,
则满足题意的直线共有66+12-6=72条.
故选B
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,以及计数原理的运用.根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键.
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