Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．
（1）若t=0，MP=

5

，求直线PA的方程；
（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，因为P在直线l上，所以设P的坐标为（a，2a），然后由M和P的坐标，利用两点间的距离公式表示出MP的长，根据MP=

5

列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐标，设过P点切线方程的斜率为k，根据P的坐标和斜率k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离公式等于半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心M到切线方程的距离d，让d等于圆的半径r，即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线PA的方程即可；
（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径得到AP垂直AM，所以三角形APM为直角三角形，所以外接圆圆心D为斜边PM的中点，根据M和设出的P的坐标利用中点坐标公式表示出D的坐标，然后利用两点间的距离公式表示出OD的长，得到关于a的函数为开口向上的抛物线，分三种情况：

t

2

大于抛物线顶点的横坐标，

t

2

小于抛物线顶点的横坐标小于

t

2

+2，和

t

2

+2小于顶点的横坐标，利用二次函数的图象即可求出函数的最小值．线段DO长的最小值L（t）为一个分段函数，写出此分段函数的解析式即可．

解答：解：（1）由圆M：x²+（y-2）²=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，
设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=

5

，∴

(2a)2+(a-2)2

=

5

．
解得a=1或a=-

1

5

（舍去）．
∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴

|-2-2k+1|

1+k2

=1，
解得k=0或k=-

4

3

．
∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）设f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA．
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M（0，2），∴D的坐标是(a，

a

2

+1)．
设DO²=f（a）．
∴f(a)=a2+(

a

2

+1)2=

5

4

a2+a+1=

5

4

(a+

2

5

)2+

4

5

．
当

t

2

＞-

2

5

，即t＞-

4

5

时，f(a)min=f(

t

2

)=

5

16

t2+

t

2

+1；
当

t

2

≤-

2

5

≤

t

2

+2，即-

24

5

≤t≤-

4

5

时，f(a)min=f(-

2

5

)=

4

5

；
当

t

2

+2＜-

2

5

，即t＜-

24

5

时，f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
则L(t)=

1 4 5t2+8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5t2+48t+128 ，t＜- 24 5

．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切是所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道比较难的题．