题目内容
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3
,4),点B(
,2
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
2 |
10 |
5 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
分析:(1)待定系数法求椭圆的方程,设椭圆C的方程为mx2+ny2=1,将点A(3
,4),点B(
,2
)代入,建立方程组,即可求出椭圆C的方程;
(2)设出双曲线方程,利用圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,建立两个方程,从而可求出双曲线G的方程.
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10 |
5 |
(2)设出双曲线方程,利用圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,建立两个方程,从而可求出双曲线G的方程.
解答:解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1,…(1分)
从而
,解得
…(3分)
故椭圆C的方程为
+
=1…(4分)
(2)椭圆C:
+
=1的两焦点为F1(-5,0),F2(5,0),…(5分)
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点,
∴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.…(6分)
设双曲线G的方程为
-
=1(a>0,b>0),则G的渐近线方程为y=±
x,…(7分)
即bx±ay=0,且a2+b2=25,
圆M:x2+(y-5)2=9的圆心为(0,5),半径为r=3.
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴
=3
∴a=3,b=4.…(9分)
∴双曲线G的方程为
-
=1.…(10分)
从而
|
|
故椭圆C的方程为
x2 |
50 |
y2 |
25 |
(2)椭圆C:
x2 |
50 |
y2 |
25 |
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点,
∴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.…(6分)
设双曲线G的方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b |
a |
即bx±ay=0,且a2+b2=25,
圆M:x2+(y-5)2=9的圆心为(0,5),半径为r=3.
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴
|5a| | ||
|
∴a=3,b=4.…(9分)
∴双曲线G的方程为
x2 |
9 |
y2 |
16 |
点评:本题考查椭圆、双曲线的标准方程,考查待定系数法,根据不同条件,设出方程是我们解答这类问题的关键.
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