题目内容
【题目】关于函数,
,下列说法正确的是( )
A.当时,
在
处的切线方程为
B.当时,
存在唯一极小值点
,且
C.对任意,
在
上均存在零点
D.存在,
在
上有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】
当时,
,求出
,得到
在
处的切线的点斜式方程,即可判断选项A;求出
的解,确定
单调区间,进而求出
极值点个数,以及极值范围,可判断选项B;令
,当
时,分离参数可得
,设
,求出
的极值最值,即可判断选项C,D的真假.
当时,
,
,
所以在
处的切线方程为
,
即,所以选项A正确;
当时,
,
当时,
,
当时,
单调递增,
所以存在,使得
,
当,
所以是
唯一极小值点,且
,
,
,
,所以选项B正确;
令,当
时,
,
设,
,
令,
由图像可知,
当时
取极大值,又
,
,
当时
极小值,又
,
,
所以当,
,
当时,
与直线
没有交点,
即在
上不存在零点,所以选项C错误;
当时,
与直线
有唯一交点,
此时在
上有且只有一个零点,所以选项D正确.
故选:ABD.
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