题目内容
本题满分14分)
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,AD∥BC, AB="BC=2," AD="4,"
PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角,E是PD的中点.
(1)点H在AC上且EH⊥AC,求的坐标;
(2)求AE与平面PCD所成角的余弦值;
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,AD∥BC, AB="BC=2," AD="4,"
PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角,E是PD的中点.
(1)点H在AC上且EH⊥AC,求的坐标;
(2)求AE与平面PCD所成角的余弦值;
(1);(2)
第一问以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系。
则由条件知,
而:PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角
∴, ∴∴
设, ∴
由EH⊥AC得,,解得
第二问由上得, 而,
∴,
记平面PCD的一个法向量为,则且
解得 取
则
解(1) 以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系。
则由条件知, ---------------2分
而:PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角
∴, ∴ --------------4分
∴
设, ∴
由EH⊥AC得,,解得 --------------6分
∴所求 --------------7分
(2)由上得, 而,
∴, --------------9分
记平面PCD的一个法向量为,则且
解得 取 --------------11分
则, --------------13分
设AE与平面PCD所成角为,则,则所求的余弦值为--------------14分
则由条件知,
而:PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角
∴, ∴∴
设, ∴
由EH⊥AC得,,解得
第二问由上得, 而,
∴,
记平面PCD的一个法向量为,则且
解得 取
则
解(1) 以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系。
则由条件知, ---------------2分
而:PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD成角
∴, ∴ --------------4分
∴
设, ∴
由EH⊥AC得,,解得 --------------6分
∴所求 --------------7分
(2)由上得, 而,
∴, --------------9分
记平面PCD的一个法向量为,则且
解得 取 --------------11分
则, --------------13分
设AE与平面PCD所成角为,则,则所求的余弦值为--------------14分
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