题目内容
【题目】设点O为坐标原点，椭圆E：
（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为
的直线与直线AB相交M，且
．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
【答案】(1) 
;(2) 
.
【解析】试题分析：（1）利用OM的斜率为
，布列方程，解出离心率；（2）利用弦长公式，结合维达定理，布列方程，结合上一问的离心率，易得椭圆方程.
试题解析：
（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），
，所以M（
，
）．
∴
，解得a＝2b，
于是
，∴椭圆E的离心率e为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E的方程为
即x2＋4y2＝4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且
．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：
（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
，
由
得
，解得
．
从而x1x2＝8－2b2．于是
．
解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．
【题目】空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．
指数 | 级别 | 类别 | 户外活动建议 |
| Ⅰ | 优 | 可正常活动 |
| Ⅱ | 良 | |
| Ⅲ | 轻微污染 | 易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动． |
| 轻度污染 | ||
| Ⅳ | 中度污染 | 心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动． |
| 中度重污染 | ||
| Ⅴ | 重污染 | 健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动． |
现统计邵阳市市区2016年1月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这60天中属轻度污染的天数；
（2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为
，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．
