Question

【题目】已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)-3.

【解析】试题分析:(1)对函数配方可得对称轴为,对区间端点与1的大小进行比较,分类讨论得出函数的最小值;(2)对分段函数在和时分别求出最大值,最后得出函数的最大值.

试题解析:

(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，

∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)min＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，∴g(a)≤g＝－3；

又当<a<时，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值为－3.

点睛: 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.