Question

【题目】已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是 ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF||QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2 ，
整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x﹣3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为，+y2=，
即方程表示的曲线是以（﹣，0）为圆心，为半径的圆．
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（﹣1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
【解析】（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由|PO|=|PA|代入坐标整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，对λ分类讨论可得；
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，则由面积相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2，由点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系可得．