Question

14．对实数a和b，定义运算“?”：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a-b≤1}\\{b，a-b＞1}\end{array}\right.$，设函数f（x）=（x²-2）?（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-K的图象与x轴恰有三个公共点，则实数K的取值范围是（-2，-1]．

Answer 1

分析 比较x²-2与（x-x²）+1的大小，从而化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x-{x}^{2}，x＜-1或x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作其图象，结合图象解得．

解答 解：∵x²-2-（x-x²）-1=2x²-x-3=（2x-3）（x+1），
∴f（x）=（x²-2）?（x-x²）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x-{x}^{2}，x＜-1或x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
作函数y=f（x）的图象如下，
，
∵-1-（-1）²=-2，$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，
（-1）²-2=-1，0²-2=-2，（$\frac{3}{2}$）²-2=$\frac{1}{4}$；
结合图象可知，
当-2＜K≤-1时，函数y=f（x）与函数y=K的图象有三个交点，
故答案为：（-2，-1]．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想．