题目内容
【题目】设a∈R,函数f(x)=x2e1﹣x﹣a(x﹣1).
(1)当a=1时,求f(x)在( ,2)内的极大值;
(2)设函数g(x)=f(x)+a(x﹣1﹣e1﹣x),当g(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2)时,总有x2g(x1)≤λf′(x1),求实数λ的值.(其中f′(x)是f(x)的导函数.)
【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)=x2e1﹣x﹣(x﹣1),则f'(x)=(2x﹣x2)e1﹣x﹣1= ,
令h(x)=(2x﹣x2)﹣ex﹣1,则h'(x)=2﹣2x﹣ex﹣1,
显然h'(x)在( ,2)内是减函数,
又因h'( )=
<0,故在(
,2)内,总有h'(x)<0,
∴h(x)在( ,2)上是减函数,
又因h(1)=0,
∴当x∈( ,1)时,h(x)>0,从而f'(x)>0,这时f(x)单调递增,
当x∈(1,2)时,h(x)<0,从而f'(x)<0,这时f(x)单调递减,
∴f(x)在( ,2)的极大值是f(1)=1.
(2)解:由题意可知g(x)=(x2﹣a)e1﹣x,则g'(x)=(2x﹣x2+a)e1﹣x=(﹣x2+2x+a)e1﹣x.
根据题意,方程﹣x2+2x+a=0有两个不同的实根x1,x2(x1<x2),
∴△=4+4a>0,即a>﹣1,且x1+x2=2,∵x1<x2,∴x1<1.
由x2g(x1)≤λf′(x1),其中f'(x)=(2x﹣x2)e1﹣x﹣a,
可得(2﹣x1)( )
,
注意到 ,
∴上式化为(2﹣x1)(2x1) ,
即不等式 ≤0对任意的x1∈(﹣∞,1)恒成立,
(i)当x1=0时,不等式 ≤0恒成立,λ∈R;
(ii)当x1∈(0,1)时, 恒成立,即
.
令函数k(x)= =2﹣
,显然,k(x)是R上的减函数,
∴当x∈(0,1)时,k(x)<k(0)= ,∴
;
(iii)当x1∈(﹣∞,0)时, ≥0恒成立,即
.
由(ii),当x∈(﹣∞,0)时,k(x)>k(0)= ,∴
;
综上所述, .
【解析】(1)当a=1时,可求得f'(x)= ,令h(x)=(2x﹣x2)﹣ex﹣1 , 利用导数可判断h(x)的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出g(x),并求得g'(x)=(﹣x2+2x+a)e1﹣x , 由题意,得方程﹣x2+2x+a=0有两个不同的实根x1 , x2(x1<x2),从而可得△=4+4a>0及x1+x2=2,由x1<x2 , 得x1<1.则x2g(x1)≤λf′(x1)可化为
≤0对任意的x1∈(﹣∞,1)恒成立,按照x1=0、x1∈(0,1)、x1∈(﹣∞,0)三种情况分类讨论,分离参数λ后转化为求函数的最值可解决;
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)