Question

18．设数列{a_n}满足a₁=2，a₂+a₅=14，且对任意n∈N^*，函数f（x）=a_n+1x²-（a_n+2+a_n）x满足f′（1）=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由条件可得2a_n+1=a_n+2+a_n，由等差数列的性质可得数列{a_n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=2，即可得到通项公式；
（2）由b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证．

解答 （1）解：函数f（x）=a_n+1x²-（a_n+2+a_n）x的导数为f′（x）=2a_n+1x-（a_n+2+a_n），
由f′（1）=0，可得2a_n+1=a_n+2+a_n，
由等差数列的性质可得数列{a_n}为等差数列，设公差为d，
则a₁=2，a₂+a₅=2a₁+5d=14，
解得d=2，
即有a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
则S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的性质和通项公式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式的性质，属于中档题．