题目内容
13．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为an．
（1）求a1、a2；
（2）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的$\frac{1}{4}$，问至少经过多少次操作？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn．
分析 （1）观察图形直接可得结论；
（2）通过an=${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$，计算即得结论；
（3）通过设第n次操作挖去bn个三角形可知${b_n}={3^{n-1}}$，利用错位相减法计算即得结论．
解答 解：（1）${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_2}=\frac{9}{16}$…（（4分），每个2分）
（2）因为{an}是以$\frac{3}{4}$为首项，以$\frac{3}{4}$为公比的等比数列，
所以an=${（\frac{3}{4}）^n}$…（6分）
由${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$，得3n＜4n-1…（7分）
因为31＞40，32＞41，33＞42，34＞43，35＜44，
所以当n=5时，${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$…（8分）
所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的$\frac{1}{4}$…（9分）
（3）设第n次操作挖去bn个三角形，
则{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
即${b_n}={3^{n-1}}$…（11分）
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Sn=1×1+2×3+…+n×3n-1…（13分）
则3Sn=1×3+2×32+…+n×3n，
两式相减，得-2Sn=（1+3+32+…+3n-1）-n×3n=$\frac{{{3^n}-1}}{2}-n×{3^n}$，
故Sn=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）×{3^n}+\frac{1}{4}$…（14分）
点评 本题主要考查等比数列、不等式及其性质等基础知识，化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
| A． | a≥3 | B． | a≥2 | C． | a＞3 | D． | a≤2 |
“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关，说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
（参考公式：K2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）