题目内容
1.设△ABC的内角{bn}的对边分别为Tn,且bcosC=(2a-c)cosB.(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$,且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-8$,求c的值;
(Ⅲ)若$b=\sqrt{3}$,则a+c的最大值.
分析 (Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB,结合范围sinA≠0,可得cosB=$\frac{1}{2}$,又0<B<π,从而得解B的值.
(Ⅱ)由1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$,得$\frac{sinC}{cosA•sinB}=\frac{2c}{b}=\frac{2sinC}{sinB}$,可得$cosA=\frac{1}{2},A=\frac{π}{3}$,利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=c•c•cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}{c^2}=-8$即可解得c的值.
(Ⅲ)由余弦定理可得3=a2+c2-ac,利用基本不等式的解法即可求得a+c的最大值.
解答 解:(Ⅰ)正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,
则sin(B+C)=sinA=2sinAcosB.…(2分)
又sinA≠0,
∴cosB=$\frac{1}{2}$,又0<B<π,
∴$B=\frac{π}{3}$.…(4分)
(Ⅱ)由1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$,得$\frac{sinC}{cosA•sinB}=\frac{2c}{b}=\frac{2sinC}{sinB}$,
所以$cosA=\frac{1}{2},A=\frac{π}{3}$…(6分)
∴△ABC为等边三角形.
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=c•c•cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}{c^2}=-8$
∴c=4.…(8分)
(Ⅲ)$b=\sqrt{3}$,$B=\frac{π}{3}$,
由余弦定理可知 b2=a2+c2-2accosB
得3=a2+c2-ac…(10分)
∴$3={a^2}+{c^2}-ac={(a+c)^2}-3ac≥{(a+c)^2}-3{(\frac{a+c}{2})^2}$,
得$a+c≤2\sqrt{3}$,当且仅当$a=c=\sqrt{3}$时取等号
故a+c的最大值为$2\sqrt{3}$.…(13分)
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 6 |
P(k2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
A. | 在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该运动与性别有关” | |
B. | 在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该运动与性别无关” | |
C. | 有99%以上的把握认为“爱好该运动与性有关” | |
D. | 有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关” |
A. | 0.1 | B. | 0.2 | C. | 0.3 | D. | 0.6 |