题目内容
【题目】如图①,在平面五边形中,
是梯形,
,
,
,
,
是等边三角形.现将
沿
折起,连接
、
得如图②的几何体.
(1)若点是
的中点,求证:
平面
;
(2)若,在棱
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在;.
【解析】
(1)取的中点
,连接
、
,证明出四边形
为平行四边形,可得出
,再利用线面平行的判定定理可得出结论;
(2)取中点
,连接
、
,推导出
、
、
两两垂直,然后以点
为原点,分别以射线
、
、
为
、
、
轴正半轴建立空间直角坐标系,设
,利用空间向量法结合二面角
的余弦值为
可求得
的值,进而可求得
的值,由此可得出结论.
(1)取中点
,连接
、
,则
是
的中位线,
且
,
且
,
且
,则四边形
是平行四边形,
,
又平面
,
平面
,
平面
;
(2)取中点
,连接
、
,易得
,
,
在中,由已知
,
,
.
,
,所以,
、
、
两两垂直,
以为原点,分别以射线
、
、
为
、
、
轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系,
则、
、
、
,
则,
,
,
假设在棱上存在点
满足题意,设
,
则,
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
令,得平面
的一个法向量
,
又平面的一个法向量
,
由已知,
整理得,解得
(
舍去),
因此,在棱上存在点
,使得二面角
的余弦值为
,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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