题目内容
16.已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时,f(x)>0(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)若f(4)=6,解不等式f(3x2-x-2)<3.
分析 (1)可令x=y=0,从而得出f(0)=0,然后令y=-x,从而可以得到f(-x)=-f(x),这便证出f(x)为奇函数;
(2)可看出f(x)在R上为增函数,根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,根据条件可得到f(x2-x1)>0,进一步便可得出f(x2)-f(x1)>0,从而得出f(x1)<f(x2),这样即可得到f(x)在R上为增函数;
(3)由f(4)=6便可得到f(2)=3,根据(2)得出的f(x)在R上为增函数,从而由原不等式得3x2-x-2<2,解该不等式即可得出原不等式的解集.
解答 解:(1)证明:令x=y=0,则f(0)=0;
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0;
∴f(-x)=-f(x);
∴f(x)是奇函数;
(2)f(x)是R上的增函数,证明如下:
设x1,x2∈R,且x1<x2,则:
x2-x1>0;
∵x>0时,f(x)>0;
∴f(x2-x1)>0;
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0;
∴f(x2)>f(x1);
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)是R上的增函数;
(3)∵f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=6;
∴f(2)=3;
∴由不等式f(3x2-x-2)<3得,f(3x2-x-2)<f(2);
又由(2)知:f(x)是R上的增函数;
∴3x2-x-2<2;
解得$-1<x<\frac{4}{3}$;
∴不等式的解集是$(-1,\frac{4}{3})$.
点评 考查奇函数的定义及判断方法,增函数的定义,以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),解一元二次不等式.
练习册系列答案
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