Question

已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值.

Answer 1

(1);（2）.

解析试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：(Ⅰ)因为e=,b=1,所以a=2,
故椭圆方程为. 4分
(Ⅱ)设l的方程为y=kx+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(m,n).
联立，解得  (1+4k²)x²+8kx="0,"                 7分
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=(8k)²>0,所以x₁+x₂=，x₁×x₂=0，
∵        ∴
点M在椭圆上，则m²+4n²=4,∴,化简得   
x₁x₂+4y₁y₂= x₁x₂+4(kx₁+1)(kx₂+1)= (1+4k²)x₁x₂+4k(x₁+x₂)+4=0,       10分
∴4k·()+4=0,解得k=±.故直线l的斜率k=±.       12分
考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题.