题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
是椭圆的一个顶点,
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,证明:直线
过定点
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)由椭圆的顶点坐标可直接得,根据△
是等腰直角三角形可得
,进而由椭圆方程中
的关系即可得椭圆方程;
(2)分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况:当斜率存在时,设出直线方程,并联立椭圆后,设,
,由韦达定理表示出
,根据斜率关系
,整理可得
与
的等量关系,代入直线方程即可确定直线AB过定点.当斜率不存在时,易证也过该定点即可.
(1)由已知可得,
是等腰直角三角形可得
,
由,
则所求椭圆方程为.
(2)若直线的斜率存在,设
方程为
,依题意
.
设,
,
由得
.
则.
由已知,
所以,即
.
所以,整理得
.
故直线的方程为
,即
.
所以直线过定点
.
若直线的斜率不存在,设
方程为
,
设,
,由已知
,
得.此时
方程为
,显然过点
.
综上,直线过定点
.
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练习册系列答案
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月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份
之间的回归直线方程
;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式: ,
.
参考数据: .