Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， an＞0，且满足：（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N* ．
（1）求a1及通项公式an；
（2）若bn=（﹣1）nan ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N*，∴ =4a1+5，a1＞0，解得a1=1．

n≥2时， =4Sn﹣1+4（n﹣1）+1，相减可得： =0，an＞0，化为：an﹣an﹣1=2．

∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解：bn=（﹣1）nan=（﹣1）n（2n﹣1）．

n=2k（k∈N*）时，b2k﹣1+b2k=﹣（2n﹣1）+（2n+1）=2．

∴数列{bn}的前n项和Tn=n．

n=2k﹣1（k∈N*）时，b2k+b2k+1=（2n﹣1）﹣（2n+1）=﹣2．

∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣1﹣ =﹣n．

∴Tn= ，k∈N*

【解析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）对n分类讨论，利用分组求和即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．