Question

12．已知$f（x）=lnx-\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；
（Ⅱ）分别讨论f（x）的单调性，通过解关于导函数的不等式结合a的范围，从而求出结果；
（Ⅲ）问题转化为a＞xlnx-x³，令g（x）=xlnx-x³，通过讨论函数g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}$…（1分）
当a≥0时，x＞0，
∴f′（x）＞0，因此f（x）在定义域（0，+∞）上为单调递增函数．…（2分）
当a＜0时，则0＜x＜-a，f′（x）＜0；x＞-a，f′（x）＞0；
此时，f（x）在（0，-a）上为单调递减函数，在（-a，+∞）上为单调递增函数．…（4分）
（Ⅱ）（1）令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，即x+a≥0
∴a≥-x．
令a≥-1，此时f（x）在[1，e]上为增函数．
∴${[f（x）]_{min}}=f（1）=-a=\frac{3}{2}$，
得$a=-\frac{3}{2}$（舍去）．…（6分）
（2）令f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即x+a≤0
∴a≤-x．
令a≤-e，此时f（x）在[1，e]上为减函数．
∴${[f（x）]_{min}}=f（e）=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$，
得$a=-\frac{e}{2}$（舍去）．…（8分）
（3）令f′（x）=0，得x₀=-a．
当1＜x＜x₀时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，x₀）上为减函数．
当x₀＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₀，e）上为增函数．
∴${[f（x）]_{min}}=f（-a）=ln（-a）+1=\frac{3}{2}$
得$a=-\sqrt{e}$．
综上可知，$a=-\sqrt{e}$．…（10分）
（ III）由f（x）＜x²，得$lnx-\frac{a}{x}＜{x^2}$，
∵x＞1，∴有a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，则g′（x）=lnx-3x²+1．…（12分）
令φ（x）=lnx-3x²+1，则$φ'（x）=\frac{1}{x}-6x=\frac{{1-6{x^2}}}{x}$，
∵x＞1，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴φ（x）＜φ（1）=-2＜0，
因此g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上单调递减，…（14分）
则g（x）＜g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．…（15分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题．考查导数的应用，本题综合性强，有一定的难度．