题目内容
【题目】某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍），游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．
（Ⅰ）设闯过n （ n∈N，且n≤12）关后三种奖励方案获得的慧币依次为An ， Bn ， Cn ， 试求出An ， Bn ， Cn的表达式；
（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
【答案】解：（Ⅰ）∵第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为40，∴An=40n．
第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，
∴ 
，
第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，
∴ 
= 
．
（Ⅱ）令An＞Bn ， 即40n＞2n2+2n，解得n＜19．
∵n∈N* ， 且n≤12，∴An＞Bn恒成立．
令An＞Cn ， 即 
，解得n＜10．
∴当n＜10时，An最大；当10≤n≤12时，Cn＞An ．
综上所述，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应该选用第一种奖励方案；
当你能冲过的关数大于等于10时，应该选用第三种奖励方案
【解析】（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为40，由此能求出An=40n；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，由此能求出Bn的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，由此能求出Cn的表达式．（Ⅱ）令An＞Bn ， 即40n＞2n2+2n，解得n＜19．由n≤12，知An＞Bn恒成立．令An＞Cn ， 即 
，解得n＜10．故当n＜10时，An最大；当10≤n≤12时，Cn＞An ． 由此能够选出最佳的选择奖励方案．
