题目内容
在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=
.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
,数列{bn}前n项和为Tn,求Tn的取值范围.
n(n+1) |
2 |
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
an |
2n |
(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-
=n,经验证,a1=1满足上式.
故数列{an}的通项公式an=n.
(Ⅱ)可知Tn=
+
+
+…+
,
则
Tn=
+
+
+…+
,
两式相减,得Tn-
Tn=
+
+
+…+
-
=1-
-
,
∴Tn=2-
.
由于Tn+1-Tn=
>0,则Tn单调递增,故Tn≥T1=
,
又Tn=2-
<2,
故Tn的取值范围是[
,2).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
n(n+1) |
2 |
(n-1)n |
2 |
故数列{an}的通项公式an=n.
(Ⅱ)可知Tn=
1 |
2 |
2 |
22 |
3 |
23 |
n |
2n |
则
1 |
2 |
1 |
22 |
2 |
23 |
3 |
24 |
n |
2n+1 |
两式相减,得Tn-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
23 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
∴Tn=2-
n+2 |
2n |
由于Tn+1-Tn=
n+1 |
2n+1 |
1 |
2 |
又Tn=2-
n+2 |
2n |
故Tn的取值范围是[
1 |
2 |
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