题目内容

在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=
n(n+1)
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
an
2n
,数列{bn}前n项和为Tn,求Tn的取值范围.
(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
n(n+1)
2
-
(n-1)n
2
=n
,经验证,a1=1满足上式.
故数列{an}的通项公式an=n.
(Ⅱ)可知Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n

1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1

两式相减,得Tn-
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1

Tn=2-
n+2
2n

由于Tn+1-Tn=
n+1
2n+1
>0
,则Tn单调递增,故TnT1=
1
2

Tn=2-
n+2
2n
<2

故Tn的取值范围是[
1
2
,2)
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