题目内容
【题目】数列满足
对任意的
恒成立,
为其前
项的和,且
.
(1)求数列的通项
;
(2)数列满足
,其中
.
①证明:数列为等比数列;
②求集合.
【答案】(1) (2) ①见证明;②
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.根据a4=4,前8项和S8=36.可得数列{an}的通项公式;
(2)①设数列{bn}前n项的和为Bn.根据bn=Bn﹣Bn﹣1,数列{bn}满足.建立关系即可求解;
②由,得
,即
.记
,由①得,
,
由,得cm=3cp>cp,所以m<p;设t=p﹣m(m,p,t∈N*),由
,得
.
讨论整数成立情况即可;
(1)设等差数列的公差为
,因为等差数列满足
,前8项和
,解得
所以数列的通项公式为
(2)①设数列的前项和为
,由(1)及
得
上两式相减,得到
=
所以
又,所以
,满足上式,
所以
当时,
两式相减,得,
,
所以 所以此数列为首项为1,公比为2的等比数列.
②由,得
,即
,∴
.
令,显然
,此时
变为
,即
,
当时,
,不符合题意;
当时,
,符合题意,此时
;
当时,
,不符合题意;
当时,
,不符合题意;
当时,
,不符合题意;
下证当,
时,方程
:
∵
∴
∴,显然
,从而
当,
时,方程
没有正整数解.
综上所述:.
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